تجميع الجزئيات للوصول إلى الكليات

استقراء محدود
مقال تفصيلي :استقراء محدوديمكن إعادة صياغة الخطوتين الأخيرتين في خطوة واحدة:

1.بتوضيح أنه إذا كان التعبير صحيحا لجميع قيم n < m فإن نفس التعبير صحيح أيضا من أجل n = m.
في الحقيقة هذا هو الشكل العام الغالب في الاستقراء الرياضي ويمكن أثبات أنه ليس صالحا لتعابير الأعداد الطبيعية فحسب بل لعناصر أي مجموعة مؤسسة جيدأ, وبتعبير اخر زمرة غير إنعكاسية < تلك التي لا تحوي سلاسل تنازلية لانهائية.

عند تطبيق هذا النوع من الاستقراء على الترتيبات (التي تشكل ترتيب حسن وعليه صنف مؤسس جيدا), تدعى استقراء محدود ويعد اثباتا له أهميته في نظرية المجموعة, التوبولوجي, والمجالات الأخرى. وبشكل عام يميز الاستقراء المحدود ثلاث حالات:

1.عندما يكون m عنصرا صغريا أي أنه لايوجد عنصر أصغر منm
2.عندما تمتلك m سلفا مباشرا, أي مجموعة من العناصر أقل من m لها عنصر أعظمي.
3.عندما لا يكون لـm سلفا مباشرا, أي أن m تدعى نهاية ترتيبية.
وبمعنى أدق, من اللازم في الاستقراء المحدود أن يتم إثبات الأساس, لأنه لاجدوى من حالة خاصة للاقتراح إذا كان P صحيحا لكل قيم n < m, فإن P صحيحا في m.
http://ar.wikipedia.org/wiki/استقراء_رياضي#.D8.A7.D9.84.D9.8...
Transfinite induction
Main article: Transfinite induction
The last two steps can be reformulated as one step:

1.Showing that if the statement holds for all n < m then the same statement also holds for n = m.
This is in fact the most general form of mathematical induction and it can be shown that it is not only valid for statements about natural numbers, but for statements about elements of any well-founded set, that is, a set with an irreflexive relation < that contains no infinite descending chains.

This form of induction, when applied to ordinals (which form a well-ordered and hence well-founded class), is called transfinite induction. It is an important proof technique in set theory, topology and other fields.

Proofs by transfinite induction typically distinguish three cases:

1.when m is a minimal element, i.e. there is no element smaller than m
2.when m has a direct predecessor, i.e. the set of elements which are smaller than m has a largest element
3.when m has no direct predecessor, i.e. m is a so-called limit-ordinal
Strictly speaking, it is not necessary in transfinite induction to prove the basis, because it is a vacuous special case of the proposition that if P is true of all n < m, then P is true of m. It is vacuously true precisely because there are no values of n < m that could serve as counterexamples.
http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_induction#Transfin...

بتوضيح أنه إذا كان التعبير صحيحا لجميع قيم n < m فإن نفس التعبير صحيح أيضا من أجل n = m.
في الحقيقة هذا هو الشكل العام الغالب في الاستقراء الرياضي ويمكن أثبات أنه ليس صالحا لتعابير الأعداد الطبيعية فحسب بل لعناصر أي مجموعة مؤسسة جيدأ, وبتعبير اخر زمرة غير إنعكاسية < تلك التي لا تحوي سلاسل تنازلية لانهائية.

عند تطبيق هذا النوع من الاستقراء على الترتيبات (التي تشكل ترتيب حسن وعليه صنف مؤسس جيدا), تدعى استقراء محدود ويعد اثباتا له أهميته في نظرية المجموعة, التوبولوجي, والمجالات الأخرى. وبشكل عام يميز الاستقراء المحدود ثلاث حالات:

عندما يكون m عنصرا صغريا أي أنه لايوجد عنصر أصغر منm
عندما تمتلك m سلفا مباشرا, أي مجموعة من العناصر أقل من m لها عنصر أعظمي.
عندما لا يكون لـm سلفا مباشرا, أي أن m تدعى نهاية ترتيبية.
وبمعنى أدق, من اللازم في الاستقراء المحدود أن يتم إثبات الأساس, لأنه لاجدوى من حالة خاصة للاقتراح إذا كان P صحيحا لكل قيم n < m, فإن P صحيحا في m.



--------------------------------------------------
Note added at 15 mins (2010-11-23 17:24:34 GMT)
--------------------------------------------------

An example of Transfinite induction:
Let P(α) be a property defined for all ordinals α. Suppose that whenever P(β) is true for all β < α, then P(α) is also true. Then transfinite induction tells us that P is true for all ordinals.

That is, if P(α) is true whenever P(β) is true for all β < α, then P(α) is true for all α. Or, more practically: in order to prove a property P for all ordinals α, one can assume that it is already known for all smaller β < α.

Usually the proof is broken down into three cases:

Zero case: Prove that P(0) is true.
Successor case: Prove that for any successor ordinal α+1, P(α+1) follows from P(α) (and, if necessary, P(β) for all β < α).
Limit case: Prove that for any limit ordinal λ, P(λ) follows from [P(β) for all β < λ].
Notice that the second and third case are identical except for the type of ordinal considered. They do not formally need to be proved separately, but in practice the proofs are typically so different as to require separate presentations.

I hope this helps