Il existe un équivalent de « snowflake » recensé par le dictionnaire Antidote 10 bilingue (Druide informatique inc.) : petit roi ou princesse. Se faire appeler ainsi n’est certainement pas flatteur, tout comme « snowflake ».
• NEGATIVE, INFORMAL – someone who is easily offended, especially because they see themselves as unique and deserving of special treatment — a generation of self-obsessed snowflakes ▫ The mollycoddled snowflakes don’t realize how harsh the real world is.
(boy, man) petit roi · (girl, woman) princesse
Cependant, pour accentuer encore plus le sens de « qui se fâche facilement », je le jouxterais avec la suggestion de Germaine « soupe au lait », ce qui deviendrait : « petit roi ou princesse soupe au lait »! Oui, je sais, c'est un peu long, mais ça rend néanmoins le terme anglais.
Faire la/sa princesse est par ailleurs recensé dans le CNRTL :
« Faire la/sa princesse; prendre, se donner des airs de princesse. [En parlant d'une femme] Être imbue de soi-même; affecter de grands airs. »
https://www.cnrtl.fr/definition/princesse Faire son petit roi pourrait tout aussi bien être compris de tous dans cette acception.